1.Анализ ситуации в математическом образовании.

Несмотря на то, что математика занимает одно из ведущих мест в системе образования, тем не менее, у автора появляется сомнение в том, что значение этого знания оценено по достоинству. Мы уже не говорим, что до сих пор не четкого определения математического образования, что является исключительно важным в решении проблем современного математического моделирования. Но обучать математике, не имея содержательного представления о самом предмете – такой подход представляется автору почти курьезным.
В процессе получения знаний по математике значительно больший акцент делается на формальную сторону знакомства с логическими инструментами, нежели на смысловую сторону процесса. Что интересно: только математическое знание изучается таким образом! В каждой научной области знания объекты изучения являются объектами реального мира, и только математические объекты являются идеальными объектами, которые строит сам познающий субъект.
Такая абстрактность математического знания завершает общую картину и создает угрозу, чтобы, забыв об истинном предназначении математических объектов, изучение этой науки превратилось в некоторое манипулирование информационными технологиями. Именно так и произошло с математикой!
Увлекшись абстрактным жонглированием математических объектов, учителя математики средней и высшей школы упустили из внимания материалистический характер математического знания. Потеряв этот материальный ориентир, они передают знания о логических формах и технологиях обработки математических объектов, упуская из виду исключительно важный момент: зачем это нужно в современной жизни.
Прагматичная молодежь игнорирует общие слова о развитии мышления до тех пор, пока не узнает: что конкретно делает математическое знание для такого развития.
Автор полагает, что сегодня наступил именно такой момент истины, когда тайный покров жизненной сущности математического знания должен быть сорван и новое математическое образование должно состоять в том, чтобы за каждым математическим объктом, как абстрактной логической формой, должна быть видна его жизненная сущность.
Именно с этой целью мы должны увидеть :каким образом формируется и развивается математическое знание, чтобы затем понять: как оно используется в процессе математического образования.

2.Моделирование основных этапов в развитии математического знания и представление средств, способов и форм математического моделирования на примере конечных количеств.

Путь развития математического знания мы продемонстрируем на модели, которую назовем конечным количеством. Конечным количеством называется такое конечное множество, в элементах которого мы абстрагируемся от особенных признаков каждого элемента. В таком случае общностью становиться единичность и эта единичность представляет количественную однородность множества.
Понятно, что понятие однородности является относительным и потому следует каждый раз определять: что мы понимаем под однородностью того или иного качества. Однородность качества содержания объекта является его простейшим качеством и потому не удивительно, что математическое знание берет свой исток из необходимости логического отражения однородности количества.
1.Этап метрической математики.
Формирование математического знания начинается с необходимости выражения однородности конечного количества. Для достижения этой цели необходимы: логический инструмент, с помощью которого мы производим такое выражение, логический способ – методика применения логического инструмента, логическая форма – представление результата такого выражения.
По отношению к определению величины конечного количества (величина – характеристика выражения однородности конечного количества) такими объектами будут соответственно: система счисления, процесс счета, натуральное число. Понятно, что в самом простом виде это будут: двоичная система счисления, двоичный счет, двоичное натуральное число.

Добавлено (01.08.2007, 19:49)
---------------------------------------------
В более общем случае родовым содержанием системы счета становится способность выражать величину количества, а родовыми содержаниями двух других объектов становятся: способность пользоваться системой счисления и способность представлять результат счета.
Мера, как средство выражения однородности, зародившись на количественном уровне, будет в дальнейшем развиваться качественно и принижать различные видовые формы выражение однородности качства в зависимости от самого качества.
Ограниченность метрического моделировании возникает уже в качественно неоднородном содержании. В частности, это происходит при наличии двух количеств, каждое из которых имеет собственную однородность. (из одного материала сделаны маленькие и большие шарики, нужно сравнить вес количества маленьких шариков с весом количества больших шариков.
2.Этап топологической математики.
Этот этап начинается с самого простого варианта – сравнения величин двух конечных количеств, каждое из которых имеет собственную однородность. В этом случае необходимо соотнесение едичностей в этих однородностях и тогда в развитии математического знания приходит новое средство – отношение.
Как мы видим, отношение начинается со своей простейшей видовой формы – отношение между конечными количествами или с количественного отношения. Для реализации отношения создается новый логический инструмент – система координат, новый метод – процесс координации и новая логическая форма – соответствие.
Базой для указанных понятий служат: система количественной координации, процесс координации конечных количеств, соответствие между конечными количествами.
Среди различных форм количественной координации есть однородные координации, представляющие, например, удвоение количеств. Как мы знаем, в этом случае эта однородность выражается мерой, однако это уже не средство выражение количественной однородности, а средство выражения однородности количественной связности. Мера в развитии получает новую видовую форму – топологическая мера – мера связности.
Как частный случай мы получаем функциональную меру – мера связи между конечными количествами и результат выражается функциональным числом – рациональным числом.Таким образом, рациональное число имеет не количественный смысл, а функциональный.
Топологическая математика, исследующая координационные процессы становится беспомощной в случае качественного изменения содержания объекта. В частности, у нее нет возможности отследить изменение количества.
3.Этап аналитической математики.
В том случае, когда конечное количество меняется, также происходит изменение его величины. Если мы хотим выразить такое изменение, то необходимо новое средство – переменная и простейшей видовой формой переменной становится переменная величина конечного количества, которая характеризует процесс изменения конечного количества.
Как простейший вариант изменения количества является добавление к конечному количеству еще одного элемента. Инструментом реализации переменной становится операция, с помощью которой и происходит изменение, сам процесс изменения является процессом анализа, и результат этого анализа выражается формой, представляющей движение – последовательность.
Понятно, что на простейшем уровне это будет переменная величина, арифметический операции, меняющие величину конечного количества и последовательность натуральных чисел, которая представляет изменение величины.
Как и в топологическом случае, здесь также появляется мера – мера аналитическая, которая уже выражает однородность сложности движения. Например, все арифметические прогрессии выражают однородные по сложности количественные изменения и мерой движения является разность прогрессии. В самом простом случае сравнения по величине двух количеств такая разность показывает изменение одного количества по отношению к другому.
Можно было бы показать, на примере конечного количества,как с возрастанием сложности движения количества меняется сложность и натурального число, но это предмет специального исследования. Следовательно, можно построить лестницу усложнения натурального числа.
Этап аналитического моделирования также испытывает ограниченность, поскольку с возрастанием сложности движения слабеет возможность применения операций. С другой стороны, последовательность, представляющая движение, в редких случаях дает возможность представить закон движения в целом. Вот почему главным в анализе изменения становится не выявление общего закона движения, а качественные характеристики указанной последовательности или закона движения.

Добавлено (01.08.2007, 19:53)
---------------------------------------------
На примере движения конечного количества это означает, что по уравнению движения:
X(n+1) = x (n) + d мы составляем разностный оператор Пх (n) = x (n+1) – x (n) и по свойствам этого оператора можем рассказать все о самом количественном движении.
4.Этап структурной математики.
Уже при измерении величины конечного количества появляется проблема представления натурального числа в определенной форме. Одну из таких форм мы получим, если выразим данное конечное количество через другие конечные количества, которые в данной системе счисления называются базовыми. Так, в двоичной системе счисления такими базовыми количествами будут следующие количества: один элемент, два элемента, четыре элемента, восемь элементов и т.д.Чтобы данное конечное количество выразить базовыми элементами нам понадобится новое средство – структура.
Как и другие средства, структура связана с логическим инструментом – разложением, логическим способом – проектированием и логической формой – комбинацией базовых элементов. Совокупность базовых элементов образует базис.
Среди комбинаций легко найти однородные. Например, представление 10 означает в двоичной системе разложение 1х2+0,в троичной системе разложение 1х3+0,а в четверичной системе разложение 1х4+0. Существуют и связи между разложениями – структурные соответствия, которые показывают отношения между формами. Есть также и изменения в структуре – развитие и разрушение структуры.
Структурные параметры позволяют глубже изучить содержание объекта. В частности, изучая движение объекта, представленное сложным уравнением и не имея возможности найти закон движения в замкнутом виде мы можем изучить качественные характеристики движения по качественным параметрам самого уравнения и потому нет необходимости решать уравнение.
Структурный подход к моделированию движения заменил аппарат аналитических уравнений (дифференциальные, интегральные, интегро – дифференциальные и т.д. аппаратом изучения особенностей операторов (оператор – представитель данного уравнения) в функциональных пространствах (пространство – совокупность решений данного уравнения, наделенная определенной структурой).
Такой структурный подход к качественным особенностям движения породил и новую область математического знания – функциональный анализ. Знание функционального анализа позволяет изучать поведение решений различных уравнений без непосредственного решения этих уравнений. Огромное значение в таком изучении имеет изучение структуры самих операторов.
Между тем, уже в структурном уровне была обнаружена ограниченность, связанная с нелинейностью операторов. Кроме того, в связи с изменением структы возникла возможность управлять движением, достигая оптимальных значений у параметров движения. ..
5.Этап кибернетической математики.
Уже при разложении конечного количества на базовые возникает проблема построения базовых количеств из данного количества. Необходимо средство конструирования и таким средством становится программа. Программа управляет процессом конструирования с помощью инструмента – алгоритма, логического способа – программирования и конечного результата – оптимального движения.
Понятно, что мера управления – это уже процедурная мера, выражающая однородность конструктивности. Новые видовые формы получают: отношение, переменная, структура.
Основная задача процесса управления – отслеживание движения. Управление может быть реализовано в жестком режиме движения по заданной программе или в мягком режиме с учетом адаптации и обратной связи. Структурный анализ систем управления имеет большое значение в процессе управления с адаптацией.
Вместе с тем, в достаточно сложных и потому плохо регулируемых системах (психологические системы, социальные системы) часто теряется контроль над поведением системы и потому возникает необходимость в прогнозировании поведения.
Ограниченность оптимального управления состоит в том, что оно не способно показывать общую логику развития системы.
6.Этап системной математики.
Уже в процессе перечисления конечного количества возникают различные варианты перечисления, и определяются различные способы, основанные на системах счисления. Система становится новым средством – средством представления диалектического развития в содержании объекта. Система использует логический инструмент – логика развития, логический способ – процесс систематизации и логическую форму – короткую точную последовательность форм содержания, в которой каждая форма, начиная со второй, является снятием предыдущей формы.

Добавлено (01.08.2007, 19:58)
---------------------------------------------
Такое движение формы – морфогенез показывает общее направление в развитии содержания. В этом случае процесс прогнозирования будет действительно научным, поскольку диалектическая логика, диалектика и теория познания означают одно и то же и впервые об этом сказал русский философ В. Ульянов – Ленин в своей статье «К вопросу о диалектике»
Не буду останавливаться на новых видовых формах меры, отношения, переменной ит.д. Вместо этого отмечу крайне неравномерный характер в развитии математического знания. Достаточно отметить, что если рациональная величина была известна еще древним, то рациональная размерность (фракталы) была открыта сравнительно недавно. Происходит это из – за того, что математическое образование было и остается неупорядоченным и бессистемным. Именно поэтому и перейдем теперь к проблеме математического образования.

3.Математическое образование и математическое моделирование.

Проблема традиционного математического образования уже давно представлена процессом преподавания математики, т.е. передачей математического знания от учителя к ученику. В этом процессе ученику отводится роль исполнителя технологической обработки информации. Получив необходимую информационную технологию, ученик показывает собственные возможности ее использования. От него не только ускользает жизненный смысл указанной технологии, но и сама устаревшая технология мало способствует интеллектуальному развитию.
Можно только удивляться тому насколько прочно и консервативно врастают информационные технологии в содержание образования. Числовая математика, которая была источником развития математического знания и возможности которой блекнут перед множественной математикой – эта математика Евклида и Пифагора не только не пропускает в содержание образования современную математику, но становится сегодня мощным средством торможения на пути развития современного математического моделирования.
Уже не говоря о том, что содержательной основой математического моделирования является переход от отношений к операциям, даже содержательный смысл математического уравнения, как логической формы выражения баланса качества, начиная с баланса количества – даже это важное понимание жизненного смысла математического уравнения незнакомо сегодня учителям математики. Процесс математического образования выхолощен и абстрагирован от реальных жизненных потребностей.
Я уже показывал модель конечного количества. При этом это не абстрактное конечное количество, а количество образов (звуковых и графических), количество пространственных форм ит.д. Это означает, что математика конечных количеств сможет и должна стать фундаментальной основой базового математического образования, в котором процесс приобретения математического знания и форма математических объектов является продуктом познавательной деятельности самой личности.
Рассмотрим теперь профессиональные возможности математического образования.
Математическое профессиональное образование по – прежнему сосредоточилось на проблеме владения технологическим аппаратом, связанным с многочисленными вычислительными процедурами, которые вполне успешно выполняют компьютеры.
Понятно, что подобная количественная математика является весьма слабым средством для таких областей, как психология и социология.
Количественная мера, взятая психологами на вооружение привела к тому, что психологические измерения используют именно количественную меру только потому, что психологам незнакома мера движения и проблема сложности интеллектуального развития, связанная с мерой движения.
Математики глубоко разработали теорию количественной меры. Однако, диалектика в развитии меры по – прежнему неразработана. Проблема измерения на качественном уровне практически не решена.
Отсутствие систематизации логических средств познания превращает математическую науку в слепой инструмент, работающий с изучением плохих моделей. Никто даже не задается вопросом о том, что нелепость подобных моделей обусловлена тем, что логические инструменты исследователей уже давно превратились в пыль истории.
Чем сложнее уровень организации материи, тем выше качество логических средств проектирования моделей. Поэтому, количественные измерения в механике
Намного сложнее измерений в психологии. Непонимание этого привело к такому метрическому моделированию интеллектуальных процессов, которое базируется на количественной мере. Но математическое образование психологов было и остается количественным.
Сказанное автором показывает, что отсутствие средств математического моделирования в гуманитарных науках вызвано не отсутствием в них математики, а ограниченностью математического образования в первую очередь. Методы множественой математики, представляющие структурные средства математического моделирования, продолжают оставаться математическим образованием математиков и физиков.

Добавлено (01.08.2007, 19:59)
---------------------------------------------
Математическое образование – логическая основа образования в целом.

Тезисы к докладу:
1.Определение образования ,как конечный продукт развития.Воспитание, как процесс поддержки развития.Видовые формы развития.
2.Определение математического образования.Эпохальная значимость математического образования.Задачи современного математического образования.
3.Математика развития:непрерывность, гармоничность и т.д. Роль математического образования в гармонизации раннего развития.
4.Критический анализ традиционного математического образования: неоднородность, разрывность, отсутствие движение в познавательных средствах,бесструктурность, неоптимальность, бессистемность.Необходимость немедленной реформы математического образования.
5.Логика развития абстракции и важность психологической коррекции при проектировании образовательных программ.
6.Значение современного математического образования для восстановления разрушенного интеллекта.
7.Логическая революция в системе математического образования:переход от объективно – идеалистических принципов познания математического знания к диалектико – материалистическим.
8.Математический ликбез учителей математики и его значение для повышения математической культуры.
9.Математическое моделирование и его всеобщность в свете новой концепции математического моделирования.

Добавлено (01.08.2007, 20:03)
---------------------------------------------
Арест М.,МА (математика),РhD (психология), Израиль